HIPERSEMÁNTICA

La semántica genérica del operador “contrario”
“Lo contrario de un hecho es falsedad, pero lo contrario de una profunda verdad puede ser otra profunda verdad” (Niels Bohr)

“Nada existe excepto en relación con su opuesto” (Paul Twitchell)

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Operador Contrario
Pese a que cada primitiva tiene una semántica específica, existe una hipersemántica, una semántica común referida a los operadores contrarios.

El operador contrario de un operador ⊥ es otro operador que se refiere al concepto contrario al que está asociado ⊥.

1. Si el operador es de tipo constructivo, el operador contrario realiza la operación contraria. Por ejemplo:
   
   

   Concepto	Contrario
   Sumar	Restar
   Multiplicar	Dividir
   Unir	Separar

   
   
2. Si el operador no es constructivo, el operador contrario tiene un significado opuesto, y que es función del operador. Por ejemplo:
   
   

   Concepto	Contrario
   Comenzar	Terminar
   Igual	Distinto
   Menor	No menor
   Mayor	No mayor

Observaciones

• El operador “Contrario” es realmente un meta-operador, es decir, un operador que actúa sobre otro operador.
  
  
• El operador “Contrario” no es una primitiva. Está presente en las primitivas de manera explícita o implícita.
  
  
• El operador “Contrario” es más genérico que la “negación lógica”. “Contrario” es universal. Se aplica a operadores y a todo tipo de expresiones.

Operador Monádico Constructivo Contrario
Si ⊥ es un operador monádico constructivo, el operador contrario ⊥' cumple la propiedad hiper-semántica

⟨( (x⊥)(⊥') = x )⟩

Por ejemplo, ⟨( (x↓↑ = x )⟩

Llamando (y = x⊥), se tiene la equivalencia condicional

⟨( (y = x⊥) ↔ (y(⊥') = x) )⟩

Si el operador monádico también se puede aplicar a la izquierda, entonces también se cumple la propiedad

⟨( (⊥')( ⊥x) = x )⟩

Llamando (y = ⊥x), se tiene la equivalencia condicional

⟨( (y = ⊥x) ↔ ((⊥')y = x) )⟩


Operador Diádico Constructivo Contrario
Cuando tenemos una expresión diádica, x⊥y, como es el caso de la exponenciación x^y (es decir, xy), se definen dos operadores contrarios:

1. Operador contrario a la derecha.
   
   Simbolizado por ⊥', es el que cumple la propiedad hiper-semántica
   
   ⟨( (x⊥y)(⊥')y = x )⟩
   
   Llamando (z = x⊥y), se tiene la equivalencia condicional:
   
   ⟨( (z = x⊥y) ↔ (z(⊥')y = x) )⟩
   
   
2. Operador contrario a la izquierda.
   
   Simbolizado por '⊥, es el que cumple la propiedad hipersemántica
   
   ⟨( (x⊥y)('⊥)x = y )⟩
   
   Llamando (z = x⊥y), se tiene la equivalencia condicional:
   
   ⟨( (z = x⊥y) ↔ (z('⊥)x = y) )⟩

Ejemplos

Vamos a aplicar estos conceptos al caso paradigmático de la exponenciación, para ver cuales son los operadores contrarios a la derecha y a la izquierda: x^y (indica xy).

1. Operador contrario a la derecha (^'):
   
   ((z^y)(^')y = z)
(x = z^y) // x = zy
(x(^')y = z) // y√x = z
   
   Por lo tanto, x(^')y es y√x
   
   
2. Operador contrario a la izquierda ('^):
   
   ((y^z)('^)y = z)
(x = y^z) // x = yz
(x('^)y = z) // logyx = z

Por lo tanto, x('^)y es logyx

Cabe plantearse también la recursión conceptual, es decir, los operadores contrarios a la derecha y a la izquierda de ^' y de '^:

1. Operador contrario a la derecha de ^': (^')'
   
   Llamando (⊥ = ^'), se tiene:
   
   ((z⊥y)( ⊥')y = z)

(x = z⊥y) // (x = z(^')y) x = y√z z = xy

(z = x(⊥')y) // z = xy
   
   Por lo tanto,
   (x((^')')y = x^y) // xy
   
   
2. Operador contrario a la izquierda de ^': '(^')
   
   Llamando (⊥ = (^')), se tiene:
   
   ((y⊥z)('⊥)y = z)

(x = y⊥z) // (x = y(^')z) logzy = x

(z = x('⊥)y) // z = logxy
   
   Por lo tanto,
   (x('(^'))y = y('^)x) // logxy
   
   
3. Operador contrario a la derecha de '^: ('^)'
   
   Llamando (⊥ = ('^)), se tiene:
   
   ((z⊥y)( ⊥')y = z)

(x = z⊥y) // (x = z('^)y) logyz = x

x(⊥')y = z // z = yx
   
   Por lo tanto,
   (x(('^)')y = y^x) // yx
   
   
4. Operador contrario a la izquierda de '^: '('^)
   
   Llamando (⊥ = ('^)), se tiene:
   
   (y⊥z)('⊥)y = z

(x = y⊥z) // (x = y('^)z) logzy = x zx = y

(x('⊥)y = z) // z = x√y
   
   Por lo tanto,
   (x('('^))y = y(^')x) // x√y

Estos resultados son generalizables para cualquier operador diádico ⊥, cumpliéndose las siguientes propiedades hipersemánticas:

1. ⟨( x((⊥')')y = x⊥y )⟩
   
   
2. ⟨( x('('⊥))y = y(⊥')x )⟩
   
   
3. ⟨( x('(⊥'))y = y('⊥)x )⟩
   
   
4. ⟨( x(('⊥)')y = y⊥x )⟩

En el caso de que el operador sea conmutativo, es decir, que x⊥y ≡ y⊥x se tiene:

⟨( (z⊥y)( ⊥')y = z )⟩

⟨( x = z⊥y )⟩ ⟨( x(⊥')y = z )⟩

⟨( (y⊥z)('⊥)y = z )⟩

⟨( x = y⊥z )⟩ ⟨( x('⊥)y = z )⟩

Por lo tanto,
⟨( x(⊥')y ≡ x('⊥)y )⟩ y (⊥' ≡ '⊥)

Es decir, los operadores contrarios a la izquierda y a la derecha son equivalentes.

Ejemplos:

1. (a+b)(+')b // ev. a
(a+b)(+')a // ev. b
(a+b)('+)a // ev. b
(a+b)('+)b // ev. a
   
   
2. (a*b)(*')b // ev. a
(a*b)('*)a // ev. b

Operador Contrario en Expresiones
El operador “Contrario” se puede utilizar para definir valores opuestos. Por ejemplo,

(blanco' = negro)
(negro' = blanco)

Otros ejemplos:

1. Si V y F representan los valores “verdadero” y “falso”, respectivamente, como estos conceptos son contrarios entre sí, tenemos: (V' = F) y (F' = V). En general,
   
   (f*V)' = (1-f)*V = f*F
   
   siendo f un factor entre 0 y 1. El caso (V' = F) corresponde a f=1. Si f=0.3, tenemos: (0.3*V)' = 0.7*V = 0.3*F.
   
   
2. Si tenemos los conceptos opuestos alto y bajo, las definiciones son las mismas: (f*alto)' = (1-f)*alto = f*bajo

Propiedades

1. ⟨( (x'' = x) )⟩
2. ⟨( (x' = y) ↔ (y' = x) )⟩
3. ⟨( (f*x)' ≡ (1−f)*x )⟩
4. ⟨( (f*x)' ≡ f*x' )⟩